本章介绍二项堆，它和之前所讲的堆(二叉堆、左倾堆、斜堆)一样，也是用于实现优先队列的。和以往一样，本文会先对二项堆的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现；实现的语言虽不同，但是原理一样，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，请不吝指出！
第1部分 二项树的介绍
二项树的定义
二项堆是二项树的集合。在了解二项堆之前，先对二项树进行介绍。
二项树是一种递归定义的有序树。它的递归定义如下：
(01) 二项树B0只有一个结点；
(02) 二项树Bk由两棵二项树B(k-1)组成的，其中一棵树是另一棵树根的最左孩子。
如下图所示：
上图的B0、B1、B2、B3、B4都是二项树。对比前面提到的二项树的定义：B0只有一个节点，B1由两个B0所组成，B2由两个B1所组成，B3由两个B2所组成，B4由两个B3所组成；而且，当两颗相同的二项树组成另一棵树时，其中一棵树是另一棵树的最左孩子。
二项树的性质
二项树有以下性质：
[性质一] Bk共有2k个节点。
[性质二] Bk的高度为k。
[性质三] Bk在深度i处恰好有C(k,i)个节点，其中i=0,1,2,...,k。
[性质四] 根的度数为k，它大于任何其它节点的度数。
注意：树的高度和深度是相同的。关于树的高度的概念，《算法导论》中只有一个节点的树的高度是0，而"维基百科"中只有一个节点的树的高度是1。本文使用了《算法导论中》"树的高度和深度"的概念。
下面对这几个性质进行简单说明：
[性质一] Bk共有2k个节点。
如上图所示，B0有20=1节点，B1有21=2个节点，B2有22=4个节点，...
[性质二] Bk的高度为k。
如上图所示，B0的高度为0，B1的高度为1，B2的高度为2，...
[性质三] Bk在深度i处恰好有C(k,i)个节点，其中i=0,1,2,...,k。
C(k,i)是高中数学中阶乘元素，例如，C(10,3)=(1098) / (321)=240
B4中深度为0的节点C(4,0)=1
B4中深度为1的节点C(4,1)= 4 / 1 = 4
B4中深度为2的节点C(4,2)= (43) / (21) = 6
B4中深度为3的节点C(4,3)= (432) / (321) = 4
B4中深度为4的节点C(4,4)= (4321) / (4321) = 1
合计得到B4的节点分布是(1,4,6,4,1)。
[性质四] 根的度数为k，它大于任何其它节点的度数。
节点的度数是该结点拥有的子树的数目。
第2部分 二项堆的介绍
二项堆通常被用来实现优先队列，它堆是指满足以下性质的二项树的集合：
(01) 每棵二项树都满足最小堆性质。即，父节点的关键字 <= 它的孩子的关键字。
(02) 不能有两棵或以上的二项树具有相同的度数(包括度数为0)。换句话说，具有度数k的二项树有0个或1个。
上图就是一棵二项堆，它由二项树B0、B2和B3组成。对比二项堆的定义：(01)二项树B0、B2、B3都是最小堆；(02)二项堆不包含相同度数的二项树。
二项堆的第(01)个性质保证了二项堆的最小节点是某一棵二项树的根节点，第(02)个性质则说明结点数为n的二项堆最多只有log{n} + 1棵二项树。实际上，将包含n个节点的二项堆，表示成若干个2的指数和(或者转换成二进制)，则每一个2个指数都对应一棵二项树。例如，13(二进制是1101)的2个指数和为13=23 + 22 + 20, 因此具有13个节点的二项堆由度数为3, 2, 0的三棵二项树组成。
第3部分 二项堆的基本操作
二项堆是可合并堆，它的合并操作的复杂度是O(log n)。
1. 基本定义
#ifndef _BINOMIAL_HEAP_H_
#define _BINOMIAL_HEAP_H_
typedef int Type;
typedef struct _BinomialNode{
Type key; // 关键字(键值)
int degree; // 度数
struct _BinomialNode *child; // 左孩子
struct _BinomialNode *parent; // 父节点
struct _BinomialNode *next; // 兄弟
}BinomialNode, *BinomialHeap;
// 新建key对应的节点，并将其插入到二项堆中。
BinomialNode* binomial_insert(BinomialHeap heap, Type key);
// 删除节点：删除键值为key的节点，并返回删除节点后的二项树
BinomialNode* binomial_delete(BinomialHeap heap, Type key);
// 将二项堆heap的键值oldkey更新为newkey
void binomial_update(BinomialHeap heap, Type oldkey, Type newkey);
// 合并二项堆：将h1, h2合并成一个堆，并返回合并后的堆
BinomialNode* binomial_union(BinomialHeap h1, BinomialHeap h2) ;
// 查找：在二项堆中查找键值为key的节点
BinomialNode* binomial_search(BinomialHeap heap, Type key);
// 获取二项堆中的最小节点
BinomialNode* binomial_minimum(BinomialHeap heap) ;
// 移除最小节点，并返回移除节点后的二项堆
BinomialNode* binomial_extract_minimum(BinomialHeap heap);
// 打印"二项堆"
void binomial_print(BinomialHeap heap);
#endif
BinomialNode是二项堆的节点。它包括了关键字(key)，用于比较节点大小；度数(degree)，用来表示当前节点的度数；左孩子(child)、父节点(parent)以及兄弟节点(next)。
下面是一棵二项堆的树形图和它对应的内存结构关系图。
2. 合并操作
合并操作是二项堆的重点，二项堆的添加操作也是基于合并操作来实现的。
合并两个二项堆，需要的步骤概括起来如下：
(01) 将两个二项堆的根链表合并成一个链表。合并后的新链表按照"节点的度数"单调递增排列。
(02) 将新链表中"根节点度数相同的二项树"连接起来，直到所有根节点度数都不相同。
下面，先看看合并操作的代码；然后再通过示意图对合并操作进行说明。
binomial_merge()代码(C语言)
/*
* 将h1, h2中的根表合并成一个按度数递增的链表，返回合并后的根节点
*/
static BinomialNode* binomial_merge(BinomialHeap h1, BinomialHeap h2)
{
BinomialNode* head = NULL; //heap为指向新堆根结点
BinomialNode** pos = &head;
while (h1 && h2)
{
if (h1->degree < h2->degree)
{
*pos = h1;
h1 = h1->next;
}
else
{
*pos = h2;
h2 = h2->next;
}
pos = &(*pos)->next;
}
if (h1)
*pos = h1;
else
*pos = h2;
return head;
}
binomial_link()代码(C语言)
/*
* 合并两个二项堆：将child合并到heap中
*/
static void binomial_link(BinomialHeap child, BinomialHeap heap)
{
child->parent = heap;
child->next = heap->child;
heap->child = child;
heap->degree++;
}
合并操作代码(C语言)
/*
* 合并二项堆：将h1, h2合并成一个堆，并返回合并后的堆
*/
BinomialNode* binomial_union(BinomialHeap h1, BinomialHeap h2)
{
BinomialNode *heap;
BinomialNode *prev_x, *x, *next_x;
// 将h1, h2中的根表合并成一个按度数递增的链表heap
heap = binomial_merge(h1, h2);
if (heap == NULL)
return NULL;
prev_x = NULL;
x = heap;
next_x = x->next;
while (next_x != NULL)
{
if ( (x->degree != next_x->degree)
|| ((next_x->next != NULL) && (next_x->degree == next_x->next->degree)))
{
// Case 1: x->degree != next_x->degree
// Case 2: x->degree == next_x->degree == next_x->next->degree
prev_x = x;
x = next_x;
}
else if (x->key <= next_x->key)
{
// Case 3: x->degree == next_x->degree != next_x->next->degree
// && x->key <= next_x->key
x->next = next_x->next;
binomial_link(next_x, x);
}
else
{
// Case 4: x->degree == next_x->degree != next_x->next->degree
// && x->key > next_x->key
if (prev_x == NULL)
{
heap = next_x;
}
else
{
prev_x->next = next_x;
}
binomial_link(x, next_x);
x = next_x;
}
next_x = x->next;
}
return heap;
}
合并函数binomial_union(h1, h2)的作用是将h1和h2合并，并返回合并后的二项堆。在binomial_union(h1, h2)中，涉及到了两个函数binomial_merge(h1, h2)和binomial_link(child, heap)。
binomial_merge(h1, h2)就是我们前面所说的"两个二项堆的根链表合并成一个链表，合并后的新链表按照'节点的度数'单调递增排序"。
binomial_link(child, heap)则是为了合并操作的辅助函数，它的作用是将"二项堆child的根节点"设为"二项堆heap的左孩子"，从而将child整合到heap中去。
在binomial_union(h1, h2)中对h1和h2进行合并时；首先通过 binomial_merge(h1, h2) 将h1和h2的根链表合并成一个"按节点的度数单调递增"的链表；然后进入while循环，对合并得到的新链表进行遍历，将新链表中"根节点度数相同的二项树"连接起来，直到所有根节点度数都不相同为止。在将新联表中"根节点度数相同的二项树"连接起来时，可以将被连接的情况概括为4种。
x是根链表的当前节点，next_x是x的下一个(兄弟)节点。
Case 1: x->degree != next_x->degree
即，"当前节点的度数"与"下一个节点的度数"相等时。此时，不需要执行任何操作，继续查看后面的节点。
Case 2: x->degree == next_x->degree == next_x->next->degree
即，"当前节点的度数"、"下一个节点的度数"和"下下一个节点的度数"都相等时。此时，暂时不执行任何操作，还是继续查看后面的节点。实际上，这里是将"下一个节点"和"下下一个节点"等到后面再进行整合连接。
Case 3: x->degree == next_x->degree != next_x->next->degree
&& x->key <= next_x->key
即，"当前节点的度数"与"下一个节点的度数"相等，并且"当前节点的键值"<="下一个节点的度数"。此时，将"下一个节点(对应的二项树)"作为"当前节点(对应的二项树)的左孩子"。
Case 4: x->degree == next_x->degree != next_x->next->degree
&& x->key > next_x->key
即，"当前节点的度数"与"下一个节点的度数"相等，并且"当前节点的键值">"下一个节点的度数"。此时，将"当前节点(对应的二项树)"作为"下一个节点(对应的二项树)的左孩子"。
下面通过示意图来对合并操作进行说明。
第1步：将两个二项堆的根链表合并成一个链表
执行完第1步之后，得到的新链表中有许多度数相同的二项树。实际上，此时得到的是对应"Case 4"的情况，"树41"(根节点为41的二项树)和"树13"的度数相同，且"树41"的键值 > "树13"的键值。此时，将"树41"作为"树13"的左孩子。
第2步：合并"树41"和"树13"
执行完第2步之后，得到的是对应"Case 3"的情况，"树13"和"树28"的度数相同，且"树13"的键值 < "树28"的键值。此时，将"树28"作为"树13"的左孩子。
第3步：合并"树13"和"树28"
执行完第3步之后，得到的是对应"Case 2"的情况，"树13"、"树28"和"树7"这3棵树的度数都相同。此时，将x设为下一个节点。
第4步：将x和next_x往后移
执行完第4步之后，得到的是对应"Case 3"的情况，"树7"和"树11"的度数相同，且"树7"的键值 < "树11"的键值。此时，将"树11"作为"树7"的左孩子。
第5步：合并"树7"和"树11"
执行完第5步之后，得到的是对应"Case 4"的情况，"树7"和"树6"的度数相同，且"树7"的键值 > "树6"的键值。此时，将"树7"作为"树6"的左孩子。
第6步：合并"树7"和"树6"
此时，合并操作完成！
PS. 合并操作的图文解析过程与"二项堆的测试程序(main.c)中的test_union()函数"是对应的！
3. 插入操作
理解了"合并"操作之后，插入操作就相当简单了。插入操作可以看作是将"要插入的节点"和当前已有的堆进行合并。
插入操作代码(C语言)
/*
* 新建key对应的节点，并将其插入到二项堆中。
*
* 参数说明：
* heap -- 原始的二项树。
* key -- 键值
* 返回值：
* 插入key之后的二项树
*/
BinomialNode* binomial_insert(BinomialHeap heap, Type key)
{
BinomialNode* node;
if (binomial_search(heap, key) != NULL)
{
printf("insert failed: the key(%d) is existed already!\n", key);
return heap;
}
node = make_binomial_node(key);
if (node==NULL)
return heap;
return binomial_union(heap, node);
}
在插入时，首先通过binomial_search(heap, key)查找键值为key的节点。存在的话，则直接返回；不存在的话，则通过make_binomial_node(key)新建键值为key的节点node，然后将node和heap进行合并。
注意：我这里实现的二项堆是"进制插入相同节点的"！若你想允许插入相同键值的节点，则屏蔽掉插入操作中的binomial_search(heap, key)部分代码即可。
4. 删除操作
删除二项堆中的某个节点，需要的步骤概括起来如下：
(01) 将"该节点"交换到"它所在二项树"的根节点位置。方法是，从"该节点"不断向上(即向树根方向)"遍历，不断交换父节点和子节点的数据，直到被删除的键值到达树根位置。
(02) 将"该节点所在的二项树"从二项堆中移除；将该二项堆记为heap。
(03) 将"该节点所在的二项树"进行反转。反转的意思，就是将根的所有孩子独立出来，并将这些孩子整合成二项堆，将该二项堆记为child。
(04) 将child和heap进行合并操作。
下面，先看看删除操作的代码；再进行图文说明。 binomial_reverse()代码(C语言)
/*
* 反转二项堆heap
*/
static BinomialNode* binomial_reverse(BinomialNode* heap)
{
BinomialNode* next;
BinomialNode* tail = NULL;
if (!heap)
return heap;
heap->parent = NULL;
while (heap->next)
{
next = heap->next;
heap->next = tail;
tail = heap;
heap = next;
heap->parent = NULL;
}
heap->next = tail;
return heap;
}
删除操作代码(C语言)
/*
* 删除节点：删除键值为key的节点，并返回删除节点后的二项树
*/
BinomialNode* binomial_delete(BinomialHeap heap, Type key)
{
BinomialNode *node;
BinomialNode *parent, *prev, *pos;
if (heap==NULL)
return heap;
// 查找键值为key的节点
if ((node = binomial_search(heap, key)) == NULL)
return heap;
// 将被删除的节点的数据数据上移到它所在的二项树的根节点
parent = node->parent;
while (parent != NULL)
{
// 交换数据
swap(node->key, parent->key);
// 下一个父节点
node = parent;
parent = node->parent;
}
// 找到node的前一个根节点(prev)
prev = NULL;
pos = heap;
while (pos != node)
{
prev = pos;
pos = pos->next;
}
// 移除node节点
if (prev)
prev->next = node->next;
else
heap = node->next;
heap = binomial_union(heap, binomial_reverse(node->child));
free(node);
return heap;
}
binomial_delete(heap, key)的作用是删除二项堆heap中键值为key的节点，并返回删除节点后的二项堆。
binomial_reverse(heap)的作用是反转二项堆heap，并返回反转之后的根节点。
下面通过示意图来对删除操作进行说明(删除二项堆中的节点20)。
总的思想，就是将被"删除节点"从它所在的二项树中孤立出来，然后再对二项树进行相应的处理。
PS. 删除操作的图文解析过程与"二项堆的测试程序(main.c)中的test_delete()函数"是对应的！
5. 更新操作
更新二项堆中的某个节点，就是修改节点的值，它包括两部分分："减少节点的值" 和 "增加节点的值" 。
更新操作代码(C语言)
/*
* 更新二项堆heap的节点node的键值为key
*/
static void binomial_update_key(BinomialHeap heap, BinomialNode* node, Type key)
{
if (node == NULL)
return ;
if(key < node->key)
binomial_decrease_key(heap, node, key);
else if(key > node->key)
binomial_increase_key(heap, node, key);
else
printf("No need to update!!!\n");
}
5.1 减少节点的值
减少节点值的操作很简单：该节点一定位于一棵二项树中，减小"二项树"中某个节点的值后要保证"该二项树仍然是一个最小堆"；因此，就需要我们不断的将该节点上调。
减少操作代码(C语言)
/*
* 减少关键字的值：将二项堆heap中的节点node的键值减小为key。
*/
static void binomial_decrease_key(BinomialHeap heap, BinomialNode *node, Type key)
{
if ((key >= node->key) || (binomial_search(heap, key) != NULL))
{
printf("decrease failed: the new key(%d) is existed already, \
or is no smaller than current key(%d)\n", key, node->key);
return ;
}
node->key = key;
BinomialNode *child, *parent;
child = node;
parent = node->parent;
while(parent != NULL && child->key < parent->key)
{
swap(parent->key, child->key);
child = parent;
parent = child->parent;
}
}
下面是减少操作的示意图(20->2)
减少操作的思想很简单，就是"保持被减节点所在二项树的最小堆性质"。
PS. 减少操作的图文解析过程与"二项堆的测试程序(main.c)中的test_decrease()函数"是对应的！
5.2 增加节点的值
增加节点值的操作也很简单。上面说过减少要将被减少的节点不断上调，从而保证"被减少节点所在的二项树"的最小堆性质；而增加操作则是将被增加节点不断的下调，从而保证"被增加节点所在的二项树"的最小堆性质。
增加操作代码(C语言)
/*
* 增加关键字的值：将二项堆heap中的节点node的键值增加为key。
*/
static void binomial_increase_key(BinomialHeap heap, BinomialNode *node, Type key)
{
if ((key <= node->key) || (binomial_search(heap, key) != NULL))
{
printf("increase failed: the new key(%d) is existed already, \
or is no greater than current key(%d)\n", key, node->key);
return ;
}
node->key = key;
BinomialNode *cur, *child, *least;
cur = node;
child = cur->child;
while (child != NULL)
{
if(cur->key > child->key)
{
// 如果"当前节点" < "它的左孩子"，
// 则在"它的孩子中(左孩子 和 左孩子的兄弟)"中，找出最小的节点；
// 然后将"最小节点的值" 和 "当前节点的值"进行互换
least = child;
while(child->next != NULL)
{
if (least->key > child->next->key)
{
least = child->next;
}
child = child->next;
}
// 交换最小节点和当前节点的值
swap(least->key, cur->key);
// 交换数据之后，再对"原最小节点"进行调整，使它满足最小堆的性质：父节点 <= 子节点
cur = least;
child = cur->child;
}
else
{
child = child->next;
}
}
}
下面是增加操作的示意图(6->60)
增加操作的思想很简单，"保持被增加点所在二项树的最小堆性质"。
PS. 增加操作的图文解析过程与"二项堆的测试程序(main.c)中的test_increase()函数"是对应的！
注意：关于二项堆的"查找"、"打印"等其它接口就不再单独介绍了，后文的源码中有给出它们的实现代码。有兴趣的话，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！
第4部分 二项堆的C实现(完整源码)
点击查看：源代码
二项堆的测试程序包括了五部分，分别是"插入"、"删除"、"增加"、"减少"、"合并"这5种功能的测试代码。默认是运行的"插入"功能代码，你可以根据自己的需要来对相应的功能进行验证！
下面是插入功能运行结果：
== 二项堆(ha)中依次添加: 12 7 25 15 28 33 41
== 二项堆(ha)的详细信息:
== 二项堆( B0 B1 B2 )的详细信息：
1. 二项树B0:
41(0) is root
2. 二项树B1:
28(1) is root
33(0) is 28's child
3. 二项树B2:
7(2) is root
15(1) is 7's child
25(0) is 15's child
12(0) is 15's next