左倾堆的介绍
左倾堆(leftist tree 或 leftist heap)，又被成为左偏树、左偏堆，最左堆等。
它和二叉堆一样，都是优先队列实现方式。当优先队列中涉及到"对两个优先队列进行合并"的问题时，二叉堆的效率就无法令人满意了，而本文介绍的左倾堆，则可以很好地解决这类问题。
左倾堆的定义
左倾堆是一棵二叉树，它的节点除了和二叉树的节点一样具有左右子树指针外，还有两个属性：键值和零距离。
(01) 键值的作用是来比较节点的大小，从而对节点进行排序。
(02) 零距离(英文名NPL，即Null Path Length)则是从一个节点到一个"最近的不满节点"的路径长度。不满节点是指该该节点的左右孩子至少有有一个为NULL。叶节点的NPL为0，NULL节点的NPL为-1。
上图是一颗左倾堆，它满足左倾堆的基本性质：
- [性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。
- [性质2] 节点的左孩子的NPL >= 右孩子的NPL。
- [性质3] 节点的NPL = 它的右孩子的NPL + 1。
左倾堆，顾名思义，是有点向左倾斜的意思了。它在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等问题中有着广泛的应用。此外，斜堆是比左倾堆更为一般的数据结构。当然，今天讨论的是左倾堆，关于斜堆，以后再撰文来表。
前面说过，它能和好的解决"两个优先队列合并"的问题。实际上，左倾堆的合并操作的平摊时间复杂度为O(log n)，而完全二叉堆为O(n)。合并就是左倾树的重点，插入和删除操作都是以合并操作为基础的。插入操作，可以看作两颗左倾树合并；删除操作(移除优先队列中队首元素)，则是移除根节点之后再合并剩余的两个左倾树。闲话说到这里，下面开始介绍左倾树的基本方法。
左倾堆的图文解析
合并操作是左倾堆的重点。合并两个左倾堆的基本思想如下：
- (01) 如果一个空左倾堆与一个非空左倾堆合并，返回非空左倾堆。
- (02) 如果两个左倾堆都非空，那么比较两个根节点，取较小堆的根节点为新的根节点。将"较小堆的根节点的右孩子"和"较大堆"进行合并。
- (03) 如果新堆的右孩子的NPL > 左孩子的NPL，则交换左右孩子。
- (04) 设置新堆的根节点的NPL = 右子堆NPL + 1
下面通过图文演示合并以下两个堆的过程。
提示：这两个堆的合并过程和源码中的测试程序相对应！
第1步：将"较小堆(根为10)的右孩子"和"较大堆(根为11)"进行合并。
合并的结果，相当于将"较大堆"设置"较小堆"的右孩子，如下图所示：
第2步：将上一步得到的"根11的右子树"和"根为12的树"进行合并，得到的结果如下：
第3步：将上一步得到的"根12的右子树"和"根为13的树"进行合并，得到的结果如下：
第4步：将上一步得到的"根13的右子树"和"根为16的树"进行合并，得到的结果如下：
第5步：将上一步得到的"根16的右子树"和"根为23的树"进行合并，得到的结果如下：
至此，已经成功的将两棵树合并成为一棵树了。接下来，对新生成的树进行调节。
第6步：上一步得到的"树16的右孩子的NPL > 左孩子的NPL"，因此交换左右孩子。得到的结果如下：
第7步：上一步得到的"树12的右孩子的NPL > 左孩子的NPL"，因此交换左右孩子。得到的结果如下：
第8步：上一步得到的"树10的右孩子的NPL > 左孩子的NPL"，因此交换左右孩子。得到的结果如下：
至此，合并完毕。上面就是合并得到的左倾堆！
下面看看左倾堆的基本操作的代码
1. 基本定义
public class LeftistHeap<T extends Comparable<T>> {
private LeftistNode<T> mRoot; // 根结点
private class LeftistNode<T extends Comparable<T>> {
T key; // 关键字(键值)
int npl; // 零路经长度(Null Path Length)
LeftistNode<T> left; // 左孩子
LeftistNode<T> right; // 右孩子
public LeftistNode(T key, LeftistNode<T> left, LeftistNode<T> right) {
this.key = key;
this.npl = 0;
this.left = left;
this.right = right;
}
public String toString() {
return "key:"+key;
}
}
...
}
LeftistNode是左倾堆对应的节点类。
LeftistHeap是左倾堆类，它包含了左倾堆的根节点，以及左倾堆的操作。
2. 合并
/*
* 合并"左倾堆x"和"左倾堆y"
*/
private LeftistNode<T> merge(LeftistNode<T> x, LeftistNode<T> y) {
if(x == null) return y;
if(y == null) return x;
// 合并x和y时，将x作为合并后的树的根；
// 这里的操作是保证: x的key < y的key
if(x.key.compareTo(y.key) > 0) {
LeftistNode<T> tmp = x;
x = y;
y = tmp;
}
// 将x的右孩子和y合并，"合并后的树的根"是x的右孩子。
x.right = merge(x.right, y);
// 如果"x的左孩子为空" 或者 "x的左孩子的npl<右孩子的npl"
// 则，交换x和y
if (x.left == null || x.left.npl < x.right.npl) {
LeftistNode<T> tmp = x.left;
x.left = x.right;
x.right = tmp;
}
if (x.right == null || x.left == null)
x.npl = 0;
else
x.npl = (x.left.npl > x.right.npl) ? (x.right.npl + 1) : (x.left.npl + 1);
return x;
}
public void merge(LeftistHeap<T> other) {
this.mRoot = merge(this.mRoot, other.mRoot);
}
merge(x, y)是内部接口，作用是合并x和y这两个左倾堆，并返回得到的新堆的根节点。
merge(other)是外部接口，作用是将other合并到当前堆中。
3. 添加
/*
* 新建结点(key)，并将其插入到左倾堆中
*
* 参数说明：
* key 插入结点的键值
*/
public void insert(T key) {
LeftistNode<T> node = new LeftistNode<T>(key,null,null);
// 如果新建结点失败，则返回。
if (node != null)
this.mRoot = merge(this.mRoot, node);
}
insert(key)的作用是新建键值为key的节点，并将其加入到当前左倾堆中。
4. 删除
/*
* 删除根结点
*
* 返回值：
* 返回被删除的节点的键值
*/
public T remove() {
if (this.mRoot == null)
return null;
T key = this.mRoot.key;
LeftistNode<T> l = this.mRoot.left;
LeftistNode<T> r = this.mRoot.right;
this.mRoot = null; // 删除根节点
this.mRoot = merge(l, r); // 合并左右子树
return key;
}
remove()的作用是删除左倾堆的最小节点。
PS. 关于左倾堆的"前序遍历"、"中序遍历"、"后序遍历"、"打印"、"销毁"等接口就不再单独介绍了。后文的源码中有给出它们的实现代码，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！
左倾堆的完整源码
源码共包含2个文件。