上一章介绍了二叉堆的基本概念，并通过C语言实现了二叉堆。本章是二叉堆的C++实现。
堆和二叉堆的介绍
1. 堆的定义
堆(heap)，这里所说的堆是数据结构中的堆，而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树，它满足下列性质：
- [性质一] 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- [性质二] 堆总是一棵完全树。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、斐波那契堆等等。
2. 二叉堆的定义
二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，它分为两种：最大堆和最小堆。示意图如下：
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；
最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。
二叉堆一般都通过"数组"来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，知识实现上稍微有一丁点区别。
假设"第一个元素"在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2)。
假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2)。
注意：本文二叉堆的实现统统都是采用"二叉堆第一个元素在数组索引为0"的方式！
二叉堆的图文解析
本文是以"最大堆"来进行介绍的。
1. 基本定义
template <class T>
class MaxHeap{
private:
T *mHeap; // 数据
int mCapacity; // 总的容量
int mSize; // 实际容量
private:
// 最大堆的向下调整算法
void filterdown(int start, int end);
// 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
void filterup(int start);
public:
MaxHeap();
MaxHeap(int capacity);
~MaxHeap();
// 返回data在二叉堆中的索引
int getIndex(T data);
// 删除最大堆中的data
int remove(T data);
// 将data插入到二叉堆中
int insert(T data);
// 打印二叉堆
void print();
};
MaxHeap是最大堆的对应的类。
它包括的核心内容是"添加"和"删除"，理解这两个算法，二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍。
2. 添加
假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：
如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。
最大堆的插入代码
/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterup(int start)
{
int c = start; // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2; // 父(parent)结点的位置
T tmp = mHeap[c]; // 当前节点(current)的大小
while(c > 0)
{
if(mHeap[p] >= tmp)
break;
else
{
mHeap[c] = mHeap[p];
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap[c] = tmp;
}
/*
* 将data插入到二叉堆中
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::insert(T data)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(mSize == mCapacity)
return -1;
mHeap[mSize] = data; // 将"数组"插在表尾
filterup(mSize); // 向上调整堆
mSize++; // 堆的实际容量+1
return 0;
}
insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。
3. 删除
假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：
从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。
如上图所示，当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。
注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除70，执行的步骤不能单纯的用它的字节点来替换；而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"！
最大堆的删除代码
/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
T tmp = mHeap[c]; // 当前(current)节点的大小
while(l <= end)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])
l++; // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
if(tmp >= mHeap[l])
break; //调整结束
else
{
mHeap[c] = mHeap[l];
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap[c] = tmp;
}
/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
* 0，成功
* -1，失败
*/
template <class T>
int MaxHeap<T>::remove(T data)
{
int index;
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(mSize == 0)
return -1;
// 获取data在数组中的索引
index = getIndex(data);
if (index==-1)
return -1;
mHeap[index] = mHeap[--mSize]; // 用最后元素填补
filterdown(index, mSize-1); // 从index位置开始自上向下调整为最大堆
return 0;
}
二叉堆的实现源码和测试包括
二叉堆的源码包含了"最大堆"和"最小堆"。